유리수보다 무리수의 개수가 훨씬 많은 이유가 뭐야?

유리수는 분수 형태(a/b)로 나타낼 수 있는 수로 정의되며, 여기서 a와 b는 정수이고, b는 이 아닙니다. 따라서 유리수는 셀 수 있는 무한함을 가지고 있습니다. 반면, 무리수는 유리수가 아닌 수로서, 소수로 표현했을 때 끝이 없고 반복되지 않는 패턴을 갖습니다. 예를 들어 (\sqrt{2}), (\pi) 과 같은 수가 무리수입니다.

유리수는 셀 수 있는 무한(separable infinite) 집합에 속하는 반면, 무리수는 셀 수 없는 무한(non-separable infinite) 집합에 속합니다. 이는 유리수를 하나씩 셀 수 있을 정도로 순서를 매길 수 있다는 의미이고, 무리수는 그렇게 할 수 없을 만큼 훨씬 많다는 의미입니다.

이 차이는 수학적으로 칸토어의 대각선 논증을 통해 증명할 수 있습니다. 이 논증은 모든 실수를 유한한 길이의 목록으로 만들 수 없음을 보임으로써, 셀 수 있는 무한과 셀 수 없는 무한 사이의 근본적인 차이를 설명합니다. 결국, 실수 집합 안에서 유리수는 셀 수 있는 부분이고, 무리수는 그렇지 못한, 훨씬 더 큰 집합을 형성합니다. 따라서, 무리수의 개수가 유리수보다 훨씬 많은 이유는 이와 같은 집합의 크기 차이 때문입니다.

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